4. Derece denklemlerde kök durumları

[ArtOfMathSolving]

$x^4-3x^3+x^2+3x-2=0$ denkleminin köklerini yorumlayınız.

[Arman]

Kökleri yorumlamaktan kasıt bulmak mı yoksa reel olup olmadıklarını mı bulmak.

[ArtOfMathSolving]

Reel olup olmadıklarını , negatif pozitif olduklarını neler oldukları gibi ...

[Arman]

$x^4-3x^3+x^2+3x-2=(x^2-x-2)(x^2-2x+1)$
Yani 4 tane reel kökü var.

[ArtOfMathSolving]

Genel olarak 4. Derece bir denklem için ,

Çarpanlar $(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$ şeklinde Olabilir. Eğer soruda en büyük dereceli terimin katsayısı $1$ olarak verildiyse , $a=d=1$ olarak ta alabiliriz.

Gerçek kök soran sorularda bu yöntem uygun olabilir. Örnek olarak Attığım soruyu çözebiliriz.

İfademiz $x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bc=0$ formunda olabilir.

$a+c=-3$
$ac+b+d=1$
$ad+bc=3$
$bc=-2$ denklem çözümünden Çarpanlara $(x-1)^2(x^2-x-2)$ şeklinde ayırabilmek mümkün

[ArtOfMathSolving]

Ayrıca $\textit{Descartes}$ in işaret kuralından ,İşaret değişim sayısı $3$ olduğundan $3$ veya $3-2=1$ pozitif kökü var diyebiliriz. $f(-x)$ e bakalım. Oradan $1$ işaret değişimi gelir . Yani $1$ negatif kökü vardır . O halde köklerden $3$ ü pozitif $1$ i negatiftir diyebiliriz.

[ArtOfMathSolving]

Tamsayı kök arıyorsak , köklerden biri tamsayı ise, $a_{0}\mid a_{n}$ bölmelidir . Yani tamsayı kökler ise bunlardan biri olabilir. Ayrıca İfadenin türevini sıfır yapan değerlere de bakılabilir.Kök incelemesi hakkında fikir sahibi olmak isteyenler ,Analiz-Cebir Gerçel Polinom kökleri adlı çalışma kağıdına bakabilirler . Herkese iyi çalışmalar...