Gönderen Konu: Kirişler Dörgeninde Diklik Merkezleri {çözüldü}  (Okunma sayısı 2001 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 348
  • Karma: +7/-0
Kirişler Dörgeninde Diklik Merkezleri {çözüldü}
« : Mayıs 27, 2016, 11:24:42 ös »
Bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $\triangle BCD$ nin diklik merkezi $H_a$, $\triangle ACD$ nin diklik merkezi $H_b$, $\triangle ABD$ nin diklik merkezi $H_c$, $\triangle ABC$ nin diklik merkezi $H_d$ olmak üzere $H_a$, $H_b$, $H_c$, $H_d$ noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Mayıs 07, 2017, 10:07:47 ös Gönderen: scarface »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: Kirişler Dörgeninde Diklik Merkezleri
« Yanıtla #1 : Mayıs 28, 2016, 05:39:54 ös »
(Mehmet Utku Özbek)

Lemma: Bir $ABC$ üçgeninde diklik merkezi $H$, çevrel çember merkezi $O$ ve $O$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $M$ olmak üzere $AH=2OM$ dir. İspatı Euler doğrusuyla kolayca yapılabilir.

İddia:  $ABCD$ ile $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgenleri eştir.

İspat:  $BH_c$ ve $CH_b$,  $AD$ ye diktir. O zaman $BH_{c} \parallel CH_b$  dir. Çevrel çemberin merkezine $O$ diyelim. $O$ dan $AD$ ye inilen dikme ayağı $M$ olsun. $\triangle ACD$ ve $\triangle ABD$  üçgenlerinin $AD$ kenarı aynı olduğu için lemma gereği $CH_b=2OM=BH_c$ olur. O zaman $CH_{b}H_{c}B$ paralelkenardır. Dolayısıyla $H_{b}H_{c}=BC$  olur.
 
Benzer yöntemi uygulamaya devam edersek $H_{b}H_a=AB$ , $H_{a}H_d=AD$ ve $D_{c}D_d=CD$ bulunur. Sonuç olarak $ABCD$ ile $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgenleri eştir.

Bu da $H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$ dörtgeninin de çembersel olduğunu gösterir. İspat biter.
Geometri candır...

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: Kirişler Dörgeninde Diklik Merkezleri
« Yanıtla #2 : Mayıs 30, 2016, 05:02:27 ös »
İki dörtgenin aynı kenarları birbirine paralel olduğu için ve kenar uzunlukları eşit olduğu için bu dörtgenler eştir.
Geometri candır...

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Kirişler Dörgeninde Diklik Merkezleri
« Yanıtla #3 : Mayıs 30, 2016, 10:55:33 ös »
Evet haklısınız fark edememişim. İlginiz için de nacizane teşekkür ederim. :)
« Son Düzenleme: Mayıs 31, 2016, 10:41:59 ös Gönderen: MATSEVER 27 »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +4/-0
Ynt: Kirişler Dörgeninde Diklik Merkezleri
« Yanıtla #4 : Mayıs 30, 2016, 11:37:16 ös »
Ne demek  :)
« Son Düzenleme: Haziran 02, 2016, 09:53:30 ös Gönderen: mehmetutku »
Geometri candır...

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Kirişler Dörgeninde Diklik Merkezleri {çözüldü}
« Yanıtla #5 : Mayıs 07, 2017, 10:10:07 ös »
Lemma'da geçen diklik merkezleri ile $ABCD$ nin eş olduğunun ispatlanması 1985 Balkan mat Olimpiyatı'nda sorulmuştur. Bu problemin benzer uygulamaları forumda paylaşıldı. Lemma'nın ispatı kayda değerdir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal