Eşitsizlik 200

[MATSEVER 27]

$abc=1$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 +\left(b+\frac{1}{c}\right)^2 +\left(c+\frac{1}{a}\right)^2 \geq 4(a+b+c)$$
olduğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

İfadeleri açarsak ,

$a^2+b^2+c^2+2\left( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge 4(a+b+c)$ olduğunu göstermemiz gerek;

Düzenleyelim,

$\left (a+b+c\right)^2 +(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2\ge 4(a+b+c) ....(*) $

bulunur.

$ (ab)^2+(bc)^2\ge 2ab^2c$

$(bc)^2+(ac)^2\ge 2abc^2$

$(ab)^2+(ac)^2\ge 2a^2bc$ taraf tarafa toplarsak,

$(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2\ge a+b+c$ bulunur.

bulduğumuzu $(*)$ da yazarsak , $a+b+c\ge 3$ bulunur ki bunu da $AGO$ dan biliyoruz. İspat biter.

[MATSEVER 27]

$\frac{a}{b}$ li ifadeler nasıl sadeleşti?

[ArtOfMathSolving]

$\sum\dfrac{a}{b}\Rightarrow 2(a^2c+b^2a+c^2b)\ge^{AGO}2 (ab+ac+bc)$ değil mi ?

[kriptoman]

Olabilir ama ispatlanması lazım bariz gibi durmuyor.