Gönderen Konu: Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 3  (Okunma sayısı 1237 defa)

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 425
  • Karma: +4/-8
Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 3
« : Mayıs 07, 2016, 08:04:26 ös »
Katsayıları tam sayılardan oluşup baş katsayısı $1$ olan $f$ polinomu:
öyle bir $N$ tam sayısı vardır ki, $f(p)$ yi pozitif yapan her $p>N$ asal sayısı $2(f(p)!)+1$ sayısını bölüyor
koşulunu sağlıyor. Tüm $f$ polinomlarını bulunuz.
« Son Düzenleme: Mayıs 08, 2016, 10:41:09 ös Gönderen: Eray »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı nk6

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 15
  • Karma: +0/-0
Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 3
« Yanıtla #1 : Şubat 23, 2018, 12:46:12 öö »
$f$ polinomunun derecesi bariz bir şekilde $0$ olamaz. Eğer derece en az $2$ ise öyle bir $M$ sayısı bulunur ki her $k>M$ tam sayısı için $f(k)>k$ olsun. Bir $p>M$ asalı alırsak $p \mid 1$ olur, çelişki.

O zaman $f(x)=x-b$, $b>0$ formatında olmalıdır. ($b\leq 0$ için aynı çelişkiyi tekrar yaşayacağımızı gözlemleyelim) Yeterince büyük her $p$ asalı için $f(p)$ pozitiftir,

$2\cdot (p-b)! \equiv -1\,\, (mod\,\, p)$ olur.

Wilson teoreminden $(p-1)!\equiv -1\,\, (mod\,\, p)$, yerine yazıp sadeleştirirsek

$(-1)\cdot (-2)\cdot\ldots\cdot (-b+1) -2\equiv 0\,\, (mod\,\, p)$ olur.

$p>>(b-1)!$ seçebiliriz, $|(-1)\cdot (-2)\cdot\ldots\cdot (-b+1) -2|<p$ olur.

Dolayısıyla $(-1)\cdot (-2)\cdot\ldots\cdot (-b+1)=2$ olmalıdır, tek çözüm $b-1=2$ iken gelir.

Tek çözüm olan $f(x)=x-3$ polinomunun şartı sağladığı kolayca görülebilir, q.e.d

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal