Denklem

[ArtOfMathSolving]

$2xy=z^2(x^2+y^2)$ eşitliğini sağlayan $x,y,z$ tamsayı üçlülerinden kaçı $x<10$ koşulunu sağlar?

$

\textbf{a)}\ 6
\qquad{b)}\ 7
\qquad{c)}\ 8
\qquad{d)}\ 9
\qquad{e)}\ \textit{hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

i) x=y=0 ise her z için sağlar, (x,y,z)=(0,0,z) bir çözümdür.
ii) x ve aynı anda 0 değilse,
(x²+y²)≥2xy=z²(x²+y²) olduğundan 1≥z²  bulunur. Buradan z=1,-1,0 olabilir.
iij)z²=1 ise (x-y)²=0 bulunur. Buradan (x,y,z)=(a,a,1),(a,a,-1) çözümleri gelir.
iijj)z=0 ise xy=0 bulunur. Buradan (0,a,0),(a,0,0) çözümleri bulunur.

Yani x<10 şartını sağlayan sonsuz (x,y,z) üçlüsü vardır.

[ArtOfMathSolving]

Evet sonsuz olması lazım fakat aldığım kaynakta cevaba $9$ demekte, tereddüte düşmüştüm teşekkürler..

[muuurat]

$Pozitif$ $tam$ $sayılarda$ $cevap$ 9 $çıkıyor.$

[ArtOfMathSolving]

Baskı hatası olabilir. Ömer Gürlü'nün eski basım kitabıydı yanılmıyorsam.