Gönderen Konu: Eşitsizlik 197  (Okunma sayısı 1344 defa)

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 425
  • Karma: +4/-8
Eşitsizlik 197
« : Mayıs 06, 2016, 12:49:19 ös »
$a,b,c\in \mathbb{R^{+}}, a+b+c=3$ için,

$\dfrac{a^3}{ac+1}+\dfrac{b^3}{ab+1}+\dfrac{c^3}{bc+1}\ge \dfrac{3}{2}$

olduğunu gösteriniz.

(ArtOfMathSolving)
« Son Düzenleme: Mayıs 07, 2016, 11:27:36 öö Gönderen: ArtOfMathSolving »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 374
  • Karma: +8/-0
Ynt: Eşitsizlik 197
« Yanıtla #1 : Mayıs 06, 2016, 04:25:27 ös »
$(a,b,c)=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ için ifade $\dfrac{3}{10}$ a eşit oluyor.
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 425
  • Karma: +4/-8
Ynt: Eşitsizlik 197
« Yanıtla #2 : Mayıs 06, 2016, 04:27:02 ös »
$a+b+c=3$ yazmayı unutmuşum. Sanırım o zaman eşitsizlik sağlanıyor.
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 374
  • Karma: +8/-0
Ynt: Eşitsizlik 197
« Yanıtla #3 : Mayıs 06, 2016, 04:32:23 ös »
İfadeye $S$ diyelim. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği'nden,

$(1+1+1)(ac+1 + ab+1+bc+1)(S)\ge(a+b+c)^3=27\Longrightarrow S\ge\dfrac{27}{3(ab+ac+bc+3)}=\dfrac{9}{ab+ac+bc+3}$

Ayrıca $(a+b+c)^2\ge3(ab+ac+bc)\Longrightarrow3\ge ab+ac+bc$ olduğundan, $S\ge\dfrac{9}{ab+ac+bc+3}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}$ $\blacksquare$
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal