EŞİTSİZLİK 185

[MATSEVER 27]

Tüm pozitif gerçel sayılar için,
\[{\frac {x \left( y+z \right) }{{y}^{2}+{z}^{2}+yz}}+{\frac {y \left( z
+x \right) }{{z}^{2}+{x}^{2}+xz}}+{\frac {z \left( x+y \right) }{{x}^{
2}+{y}^{2}+xy}}\geq 2\]
olduğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{xy+xz+yz+y^2+z^2+x^2-x^2}{y^2+z^2+yz}\geq 5\end{align*}$  $Cauchy$'den


$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{(x+y+z)^2}{y^2+z^2+zy}-\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{y^2+z^2+yz}\geq 5\end{align*}$

$\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{(x+y+z)^2}{y^2+z^2+zy}-\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{y^2+z^2+yz}\geq \dfrac{3(x+y+z)^2+6(xy+yz+xz)}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+xz}-\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+xz}=\dfrac{2(x+y+z)^2+5(xy+yz+xz)}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+xz}\ge 5 \end{align*}$

$\begin{align*} =\dfrac{5(xy+yz+xz)}{2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+xz} \ge 4 \Rightarrow \dfrac{2(x^2+y^2+z^2)}{2(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)} \le 3  \end{align*}$

$4(x+y+z)^2+7(xy+yz+xz)\ge 0 \Rightarrow x,y,z\in\mathbb{R^{+}}$ olduğundan eşitsizlik doğrudur.

[MATSEVER 27]

$f(x,y,z)$ homojen bir fonksiyon olduğundan $xyz=1$ veya x+y+z=3$ kabul edilebilir. Bu da farklı bir yol olabilir. 2.si ne yazık ki her zaman doğru değil.

[Eray]

$f(x,y,z)$ homojen bir fonksiyon olduğundan $xyz=1, x+y+z=3$ kabul edilebilir.

İkisinin aynı anda kabul edilebileceğini mi kastettiniz? Bildiğim kadarıyla ikisinden biri kabul edilebilir