EŞİTSİZLİK $166$

[MATSEVER 27]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a+b+c+abc \ge 4$ koşulunu sağlıyorsa;
$$\frac{(a^2+bc)(b^2+ac)}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a^2+bc)(c^2+ab)}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b^2+ac)(c^2+ab)}{(a+b)(a+c)} \ge 6-ab-bc-ca$$
olduğunu gösteriniz.

[MATSEVER 27]

$$\frac{(a^2+bc)(b^2+ac)}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a^2+bc)(c^2+ab)}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b^2+ac)(c^2+ab)}{(a+b)(a+c)} =a^2+b^2+c^2$$
özdeşliğini kullanarak ispatlamamız gerekenin $(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \ge 12$ olduğudur. Cauchy den;
$$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2 \ge \frac{4(a+b+c)^2}{3}$$
elde edilir. $a+b+c \ge 3$ ise ispat biter. Varsayalım ki $a+b+c <3$ olsun. $A.G.O$ dan $1 >abc$ ve $a+b+c+abc <4$ olur. Çelişki. $a+b+c \ge 3$ idir. İspat biter.