Gönderen Konu: Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 2  (Okunma sayısı 1085 defa)

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 2
« : Şubat 28, 2016, 07:47:33 ös »
Bir $n$ pozitif tamsayısı için $n=\dfrac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}$ olacak şekilde $a,b,c,d$ pozitif tamsayıları bulunuyorsa $n$ ye $\textit{mutlu sayı}$ diyelim. Buna göre;

$\textbf{(a.)}$ $2014$ sayısının bir $\textit{mutlu sayı}$ olmadığını gösteriniz.

$\textbf{(b.)}$ Sonsuz çoklukta  $\textit{mutlu sayı}$ olduğunu gösteriniz.

Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 257
  • Karma: +6/-0
Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 2
« Yanıtla #1 : Aralık 30, 2019, 10:08:05 ös »
$a)$ $2014=\dfrac{a^3+2b^3}{c^3+2d^3}$ için $$2014(c^3+2d^3)\equiv a^3+2b^3 \equiv 0 \pmod {19}$$ olur. Düzenlersek, $$\left (\dfrac{a}{b}\right )^3\equiv -2 \pmod {19}$$ olur fakat hiçbir değer için $x^3\equiv -2 \pmod {19}$ olamaz. Dolayısıyla $2014$ mutlu bir sayı değildir.

$b)$ $a=3k+1$, $b=c=d=1$ için $n=9k^3+9k^2+3k+1$ olur. Yani sonsuz $n$ değeri vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal