EŞİTSİZLİK 156

[MATSEVER 27]

$a^2+b^2+c^2=3$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{2}{abc}+1$$
olduğunu kanıtlayınız.

[ArtOfMathSolving]

$A.G.O$'dan $3\geq a+b+c\geq 1\geq abc$ bulunur. Verilen eşitsizlikte payda eşitleyelim .

$\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}\geq \dfrac{abc+2}{abc} \Rightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 3abc+6\Rightarrow 9\geq 9$

İspat biter. Eşitlik durumu $a=b=c=1$ durumunda geçerlidir.