EŞİTSİZLİK 155 [çözüldü]

[MATSEVER 27]

$a+b+c=3$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2} \ge a^2+b^2+c^2$$
olduğunu gösteriniz.

(Mehmet Berke İşler)

[ArtOfMathSolving]

Çebişev Kullanalım.$\dfrac{(a+b+c)(\sum \dfrac{1}{a^2})}{3}\geq 3 \Rightarrow \sum \dfrac{1}{a^2}\geq 3$ ve buradan da $(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2\geq 9$ Eşitsizliği elde edilir.$A.G.O$'dan $abc\leq 1$ ve Aritmatik Harmonik ortalama dan da $\sqrt[3]{abc}\geq \dfrac{3abc}{ab+bc+ac}\Rightarrow \dfrac{ab+bc+ac}{abc}\geq 3$ olduğunu biliyoruz. O halde son bulduğumuz eşitsizliğin karekökünü alalım.$\sum \dfrac{1}{a}\geq 3$ Elde edilir ve Bunu da $A.H.O$'dan biliyoruz.İspat biter.



Eksik veya hatalı yer varsa Düzeltin İyi çalışmalar...