Fonksiyonel Denklem 25 [çözüldü]

[MATSEVER 27]

Tüm $x,y$ gerçel sayıları için;
$$xf(y) + f(xf(y)) - xf(f(y)) - f(xy) = 2x + f(y) - f(x+y)$$
olmasını sağlayan bütün $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ fonksiyonlarını belirleyiniz.

[matematik fatihi]

$x \to 1$ koyarsak eşitlik $f(y+1)= f(y)+2 \ldots(1)$ olur. $a=f(0)$ ve $b=f(1)$ olsun. $b=a+2$ olduğunu biliyoruz. İlk eşitlikte $y\to 1$ koyarsak bunu;
$$xb+f(xb)-xf(b)-f(x)= 2x+b-f(x+1) \ldots(2)$$
olarak yazabiliriz. $\ldots(1)$ ve $\ldots(2)$ den $xa+f(xb)=xf(b)+a$ elde edilir. $b\neq0$ ise $f(x)= x\cdot {f(b)-a\over b}+a$ eşitliğini buluruz. Burada $x \to 1$ koyarsak $f(b)=3b-2$ dolayısıyla $f(x)=2x+a$ elde edilir. Şayet $b=0$ ise $a=-2$ dir. $\ldots(1)$ den $f(2)=2$ elde edilir. İlk eşitlikte $y \to2$ koyarsak $f(x+2)= 2x+2$ ve $f(x)=2x-2$ elde edilir.

Sonuç olarak $f(x)=2x+f(0)$ sağlar.