Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2008 Soru 11

[ArtOfMathSolving]

$1000$ den küçük kaç $n$ Doğal sayısı için $n^2+8n-85$ ifadesi $101$ e bölünür?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 6
\qquad{d)}\ 9
\qquad{e)}\text {Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$n^2+8n-85 \equiv 0 \pmod{101}$ olmalıdır. Bu denkliği $(n+4)^2 \equiv 85 + 16 \pmod{101}$ biçiminde yazalım. $101$ asal sayı olduğundan bu ikinci dereceden denkliğin $\mod 101$ içinde en fazla iki farklı çözümü olabilir. Bu problemde $(n+4)^2 \equiv 0 \pmod{101}$ olduğundan tek çözüm $n \equiv -4 \pmod{101}$ dir. Dolayısıyla $k$ bir tamsayı olmak üzere $n=101k-4$ formundadır. $0\leq n < 1000$ şartı altında $k \in \{ 1,2, \dots ,9\}$ olmalıdır. Yani $9$ tane $n$ değeri vardır.