Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 3{çözüldü}

[ArtOfMathSolving]

$x,y,z$ negatif olmayan gerçel sayılar ve, $x+y+z\leq 3$ ise ;

            $ \dfrac{2}{1+x}+\dfrac{2}{1+y}+\dfrac{2}{1+z}\geq 3 $

olduğunu gösteriniz.

[MATSEVER 27]

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden $(x+y+z+3)\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}\right) \ge 9$ dolayısıyla $\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z} \ge \dfrac{3}{2}$ olur. Bu ifade $2$ ile çarpılırsa istenen elde edilir.