$\text{Matematik Fatihi:}$
$K=3$ olduğunu iddia ediyoruz. O halde bunu gösterelim. Bu soruda birkaç lemma kullanacağız.
$\textit{Lemma 1}$
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+2(a+b+c)$$
olduğunu kanıtlayalım. Bunun için $\dfrac{1}{a}-2b \ge \dfrac{c}{a}$ göstermemiz yeterli olacaktır. Bunun için koşulumuzda $a^2+b^2\ge 2ab$ olduğunu kullanarak $2ab+c^2+2abc-1 \le 0 \Rightarrow (c+1)(c+2ab-1) \le 0$ elde ederiz. $c+1 >0$ olduğundan $1 \ge c+2ab$ elde edilir. O halde bunu göstermiş olduk. Benzer şekilde yaparak toplanırsa Lemma 1 eşitsizliği elde edilir.
$\textit{Lemma 2}$
$$1+2abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2bc+2ca+2ab$$
olduğunu kanıtlayalım. Eğer ifadeyi düzenlersek;
$\left( a+b+c\right) \left( \left( 1+2abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-\left(2bc+2ca+2ab\right) \right)$ $=\left( \left( a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\right)-\left(bc^{2}+cb^{2}+ca^{2}+ac^{2}+ab^{2}+ba^{2}\right) \right) +a\left( bc^{2}+cb^{2}+1-3bc\right)+b\left( ca^{2}+ac^{2}+1-3ca\right)+c\left( ab^{2}+ba^{2}+1-3ab\right)$ elde edilir.
$\textit{1. Kısım}$
$a\left( bc^{2}+cb^{2}+1-3bc\right)+b\left( ca^{2}+ac^{2}+1-3ca\right)+c\left( ab^{2}+ba^{2}+1-3ab\right) \ge 0$ olduğunu gösterelim. $A.G.O$ dan $bc^{2}+cb^{2}+1 \ge 3bc$ olduğundan $a( bc^{2}+cb^{2}+1-3bc) \ge 0$ elde edilir. Taraf tarafa toplanırsa $1. Kısım$ ispatlanır.
$\textit{2. Kısım}$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq bc^{2}+cb^{2}+ca^{2}+ac^{2}+ab^{2}+ba^{2}$ olduğunu kanıtlayalım. Bu ise Schur eşitsizliğinin $r=1$ durumudur. O halde bu kısım da doğrudur.
O zaman bu iki kısım toplanırsa $\textit{Lemma 2}$ ispatlanmış olur. O halde koşulun da yardımıyla $1 \ge ab+bc+ca$ elde ederiz. Bunu $\textit{Lemma 1}$ de yerine koyarsak;
$$\dfrac{1}{abc} \ge \dfrac{ab+bc+ca}{abc} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+2(a+b+c)$$
elde ederiz. O zaman $\dfrac{1}{abc}-\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{c}-\dfrac{c}{a} \ge 2(a+b+c)$ elde ederiz. Bunu yerine koyalım. Eşitsizlik;
$$3 \ge \dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}+2(ab+bc+ca)$$
haline dönüşür. Bunu gösterelim. $\textit{Lemma 1}$ de kullandığımız $1 \ge c+2ab$ özelliğinden $1 \ge c+2ab$ ve $1 \ge a+2bc$ biliyoruz. Bu ikisi toplanırsa $2 \ge (2b+1)(a+c)$ ve $\dfrac{a+c}{2} \le \dfrac{1}{2b+1} \Rightarrow ab+bc \le \dfrac{2b}{2b+1}$ elde edilir. Benzer şekilde yapılıp taraf tarafa toplanırsa $2(ab+bc+ca) \le 3-\left(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1} \right)$ olduğundan ispat biter.
O halde ispat biter. Bunu sağlayan $K=3$ idir. Soru biter.
$\textit{Not:}$ Lemma 1 aynı şekliyle $2015$ $JBMO$ Takım Seçme Sınavında sorulmuştur.
$\textit{Not 2:}$ Lemma 2 için
https://www.artofproblemsolving.com/community/c6h19666_generalization_of_apmo_2004
