$1+5^x=2^y+2^z.5^t$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y,z,t)$ pozitif tamsayıları

[MATSEVER 27]

$1+5^x=2^y+2^z.5^t$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y,z,t)$ pozitif tamsayı dörtlülerini belirleyiniz.

[Abdullah demircan]

$2^y=1(mod 5)$ olduğundan $4|y$ olmalı. Ayrıca $5^{x}+1=2(mod4)$ olduğundan $z=1$ olmalıdır. $5^{x}+1=2^{y}+2.5^t$. $t>1$ ise $2^y=1(mod 25)$,$5|y$ olur. Fakat bu durumda $5^x=2.5^t(mod11)$ olur ki bu mümkün değildir. O zaman $t=1$,$5^{x}-2^{y}=9$. mod 3'ten x de çift olur ve iki kare farkından $x=2$,$y=4$ gelir