Faydalı Eşitsizlik ve Jensen Eşitsizliğini(Bir kez paydada, bir kez de eksi halde kullandığımızdan doğrudur.) kullanacağız.
$\sum{\frac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{c+3a}}}=\sum{\frac{2}{\sqrt{c+3a}}}-(\sqrt{\frac{a}{c+3a}}+\sqrt{\frac{b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{c}{b+3c}}$
1-) $\sum{\frac{2}{\sqrt{c+3a}}}=2(\frac{1}{\sqrt{c+3a}}+\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}})\geq 2(\frac{9}{\sqrt{a+3b}+\sqrt{b+3c}+\sqrt{c+3a}})\geq 2(\frac{9}{3\sqrt{\frac{4(a+b+c)}{3}}}\geq 3$
O zaman $\sqrt{\frac{a}{c+3a}}+\sqrt{\frac{b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{c}{b+3c}}\leq \frac{3}{2}$ olmalıdır.
2-)$\sqrt{\frac{a}{c+3a}}+\sqrt{\frac{b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{c}{b+3c}}\leq 3\sqrt{\frac{\frac{a}{3a+c}+\frac{b}{3b+a}+\frac{c}{3c+b}}{3}}\geq \frac{3}{2}$
=> $\frac{a}{3a+c}+\frac{b}{3b+a}+\frac{c}{3c+b}\geq \frac{3}{4}$
Burada soru biraz uğraştırıcı hale geliyor
İfadeleri açalım:
$4[a(3b+a)(3c+b)+b(3a+c)(3c+b)+c(3a+c)(3b+a)]\leq 3(3a+c)(3b+a)(3c+b)$
(1)$a(3b+a)(3c+b)+b(3a+c)(3c+b)+c(3a+c)(3b+a)$
$= 27abc+6(ab^2+bc^2+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a$
Aynı zamanda da
$(3a+c)(3b+a)(3c+b)=28abc+9(ab^2+bc^2+ca^2)+3(a^2b+b^2c+c^2a)$
Aynı terimler dikkat çekmeye başladı bile..
(1) de yerine koyalım:
$4[27abc+6(ab^2+bc^2+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a]\leq 3(28abc+9(ab^2+bc^2+ca^2)+3(a^2b+b^2c+c^2a)$
=> $108abc+24(ab^2+bc^2+ca^2)+4(a^2b+b^2c+c^2a)\leq 84abc+27(ab^2+bc^2+ca^2)+9(a^2b+b^2c+c^2a)$
Ortak terimleri çıkartırsak :
$24abc\leq 3(a^2c+b^2a+c^2b)+5(ac^2+ba^2+cb^2)$
Ters çevirip Aritmetik-Geometrik Ortalama uygularsak:
$3(a^2c+b^2a+c^2b)+5(ac^2+ba^2+cb^2)\geq 3(3abc)+5(3abc)=24abc\geq 24abc$. Soru biter.
