Eşitsizlik $132$

[ArtOfMathSolving]

$a,b$ ve $c,\space a+b+c=3$ koşulunu sağlayan, pozitif gerçel sayılar olmak üzere;

           $\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b}+\dfrac{(a+b+c)^2}{3(ab+ac+c)} \ge 4$

olduğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

Kolayca görülebildiği üzere, $\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{a+b}{b+c}\ge 3\end{align*}$, böylece göstermemiz gereken, $\begin{align*}\dfrac{(a+b+c)^2}{3(ab+ac+bc)}\ge 1 \Rightarrow (a+b+c)^2\ge 3(ab+ac+bc) \end{align*}$ Bu ifade de aşikar.