$x=0,n=0$ bir çözümdür.
Diğer çözümleri bulalım;
Denklemin sağ tarafı Çift olduğundan $x$ tek olmalıdır.Öyleyse denklemi $\left( mod 8\right)$ de incelersek;
$x^3\equiv x \left(mod8\right) \equiv x^3+2x+1\equiv 3x+1 \left(mod8\right)\equiv 2^n \left(mod8\right)$ elde edilir. Aynı şekilde $n\geq 3$ için;
$2^n\equiv 0 (mod8)$ olacaktır.$0\leq n\leq 2$ için $2^n\equiv {0,2,4} (mod8)$ olur.
$3x+1\equiv 0 \left( mod8\right)$ ise; $x\equiv 5 \left( mod8\right) \Rightarrow x=8k+5$ elde edilir.Fakat buradan herhangi bir çözüm gelmez.
$3x+1\equiv 2 \left( mod8\right)$ ise; $x\equiv 3 \left( mod8\right) \Rightarrow x=8k+3$ elde edilir. Buradan $x=3,n=5$ çözümleri elde edilir.
$3x+1\equiv 4 \left( mod8\right)$ ise; $x\equiv 1 \left( mod8\right) \Rightarrow x=8k+1$ elde edilir.Buradan $x=1, n=2 $çözümleri elde edilir.
Denklemin tüm çözümleri $x=0,n=0$ , $x=1,n=2$ , $x=3,n=5$ dir.
Herkese iyi çalışmalar dilerim.
