Bu soruya bir not düşmek istedim. Sorunun muhtemelen ''negatif olmayan tam sayılarda $x^2+2^y=3^z$ denklemini çözünüz.'' şeklinde sorulmamasının nedeni $y=1$ durumunda
$$x^2+2=3^z$$ geliyor bu da Ramanujan-Nagell tipi bir denklemdir. Bunu da içeren genelleştirilmiş sorunun çözümünü paylaşmak istedim.
Soru: $x^2+2^y=3^z$ denklemini negatif olmayan tamsayılar için çözünüz.
İspat: (İbrahim Atakan Çiçek)$y=1$ olsun. Bu tip denklemlerde iki kare farkı elde edilemiyorsa da Pell tipi denklem oluşturabiliyoruz. Burada modüler aritmetik yardımıyla $z$ çift ise $x^2\equiv 3 \pmod 4$ geldiği için kare kalan kuralından çelişki elde edilir. Bu durumda $z$ tek sayı olmalıdır. $z=1$ durumunda $x=1$ sağladığından geri kalan durumlar için $z=2k+1, k \in Z^+$ alabiliriz. Bu da bize $$x^2-3.(3^k)^2=-2$$ Yani Pell tipi denklem verir $(x^2-3y^2=-2)$. Bu tarz Pell denklemlerinin çözümleri $(x,y)$ çözüm ise $(ax+by)$ de çözümdür Şeklinde türetilir. Buradan yola çıkalım. Bu denklemin çözümleri için $(x,y)$ çözüm ise $(2x+3y,x+2y)$ de çözümdür şartı sağlandığı gösterilebilir. Ayrıca bu denklemin tek kök çözümü $(1,1)$ vardır. (Neden ?) Buradan
$x_{n+1}=2x_n+3y_n$
$y_{n+1}=x_n+2y_n$ dir. Buradan $x_n=y_{n+1}-2y_n$ elde edilir. Öte yandan ,
$$y_{n+2}=x_{n+1}+2.y_{n+1}=2.x_n+3.y_n+2.(x_n+2y_n)=4x_n+7y_n=4y_{n+1}-y_n$$ olur.
Burada $n$ negatif olmayan tam sayı ve $y_0=1$ ve $y_1=3$ olmak üzere $y_n$ dizisini tanımlarsak $y_{n+2}=4y_{n+1}-y_n$ dizisini elde ederiz. Yani $3^k$ terimi bu dizi üzerinde bulunmalıdır.
Öncelikle dizinin küçük terimlerini yazalım.
$1,3,11,41,153,571,2131,7953,29681,110771, ...$ olarak gittiği görülebilir. Buradan $y_1$ $y_4$ ve $y_7$ nin $3$ e bölündüğü görülebiliyor ve yanlarında fark edeilirse daha büyük başka bir asal çarpan daha mevcut. Bu da bize Bang-Zsigmondy Teoremi'ni çağrıştırıyor.
Bang-Zsigmondy Teoremi'nin Lucas dizileri için olan versiyonu : Lucas dizileri için $m,n$ negatif olmayan tam sayılar ve $m<n$ ise $y_n$ terimini bölüp , $y_m$ terimini bölmeyen ilkel bir asal bölen vardır. (İstisna'lar mevcuttur.)
Buradan yola çıkarsak $y_1=3$ olduğundan Bang-Zsigmondy Teoremi'nin dizilere uygulanmış versiyonundan dolayı $y_1$ den sonraki terimler daima $3$ ten farklı bir asal bölen içermelidir. (Bizim dizimiz istisna durumlarda listelenmediği için) Bu nedenle $3$ ün kuvveti olamazlar. Buradan $3^k=3$ yani $z=3$ gelir. Bu da bize orijinal denklemimizde $x=5$ in çözüm olduğunu gösterir. Küçük değer incelemesinde $x=1$ ve $z=1$ in de çözüm olduğunu not etmiştik. Bu nedenle $x^2+2=3^z$ denkleminin negatif olmayan tam sayılardaki tüm çözümleri $(1,1),(5,3)$ olur.
Abdullah Demircan'ın yukarıda verdiği çözümde incelenmeyen geriye kalan tek durum $y=0$ yani
$x^2+1=3^z$ oluyor. $z$ tek sayı ise $x^2\equiv 2\pmod 4$ den çelişki geliyor. O halde $z$ çift olmalıdır. $z=0$ için $x=0$ bir çözümdür. Geriye kalan durumlarda $z=2k$ ,$k\in Z^+$ dönüşümü yaparsak $x^2=(3^k-1)(3^k+1)$ elde ederiz. $(3^k-1,3^k+1)=2$ olduğu için $3^k-1=2m^2$ ve $3^k+1=2n^2$ olacak şekilde $m,n\in Z^+$ vardır. Buradan $n^2-m^2=1$ gelir. Ancak pozitif tam sayılar kümesinde İki kare farkı en az $3$ olduğu için bu denklemin çözümü yoktur. Buradan da $(0,0)$ tek çözüm olarak bulunur.
O halde $x^2+2^y=3^z$ denkleminin negatif olmayan tam sayılar kümesinde tüm çözümleri
$$\{(0,0,0),(1,1,1),(1,3,2),(5,1,3),(7,5,4)\}$$ olmuş oluyor.
Not: Bu sorunun fibonacci dizisine dönüşen versiyonu $2021$ Tayvan Matematik Olimpiyatı'nda sorulmuş. Buradan yola çıkarak bu çözüme ulaştım. https://geomania.org/forum/index.php?topic=9377.0Bang Zsigmondy Teoremi'nin Vikipedi'deki linki için :
https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy%27s_theorem
