EŞİTSİZLİK $127$

[MATSEVER 27]

Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{a^3+3b^3}{5a+b}+\frac{b^3+3c^3}{5b+c}+\frac{c^3+3a^3}{5c+a} \geq K(a^2+b^2+c^2)$$
olmasını sağlayan en büyük $K$ gerçel sabitini belirleyiniz.

[ArtOfMathSolving]

Chebyshev Eşitsizliğinden

$a^3+3b^3\geq \dfrac{4(a^3+b^3)}{3}$ ve benzer şekilde; $b^3+3c^3\geq \dfrac{4(b^3+c^3)}{3}$, $c^3+3a^3\geq \dfrac{4(c^3+a^3)}{3}$ bulunur.$(1)$

Tekrar Chebyshev Eşitsizliğinden ;

$5a+b\geq 2(a+b)$ ve benzer şekilde; $5b+c\geq 2(b+c)$, $5c+a\geq 2(c+a)$ bulunur.$(2)$

$(1)$ ve $(2)$'deki ifadelerden $\dfrac{a^3+3b^3}{5a+b}\geq\dfrac{2(a^3+b^3)}{3(a+b)}\Rightarrow \dfrac{2(a+b)(a^2-ab+b^2)}{3(a+b)} \Rightarrow  \dfrac{a^3+3b^3}{5a+b}\geq \dfrac{2}{3}(a^2-ab+b^2)$ benzer şekilde;

$\dfrac{b^3+3c^3}{5b+c}\geq\dfrac{2(b^3+c^3)}{3(b+c)}\Rightarrow \dfrac{2(b+c)(b^2-bc+c^2)}{3(b+c)} \Rightarrow  \dfrac{b^3+3c^3}{5b+c}\geq \dfrac{2}{3}(b^2-bc+c^2)$

$\dfrac{c^3+3a^3}{5c+a}\geq\dfrac{2(c^3+a^3)}{3(c+a)}\Rightarrow \dfrac{2(c+a)(c^2-ca+a^2)}{3(c+a)} \Rightarrow  \dfrac{c^3+3a^3}{5c+a}\geq \dfrac{2}{3}(c^2-ca+a^2)$ bulunur.

Eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa;

$\dfrac{a^3+3b^3}{5a+b}+\dfrac{b^3+3c^3}{5b+c}+\dfrac{c^3+3a^3}{5c+a}\geq \dfrac{2}{3}(2(a^2+b^2+c^2)-ab-bc-ac)\geq K(a^2+b^2+c^2)$

$a^2+b^2+c^2\geq (ab+ac+bc)$ olduğunu biliyoruz. Buradan $2(a^2+b^2+c^2)-ab-bc-ac\geq (ab+bc+ac)$ bulunur. Eşitsizlikte yerine yazalım;

$\dfrac{2}{3}(ab+bc+ac)\geq K(ab+bc+ac)$ ve $\dfrac{2}{3}\geq K$ elde edilir. Eşitlik durumu yalnızca $a=b=c=1$ ve $K=\dfrac{2}{3}$ olduğunda geçerlidir.

[MATSEVER 27]

Başta söylediğiniz koşulların sağlanması ancak $5b^3 \ge a^3, 5c^3 \ge b^3, 5a^3 \ge c^3$ iken geçerlidir. Ancak bu tüm $a,b,c$ pozitif gerçelleri için mümkün değildir. Çalışmalarınızda kolaylıklar

[ArtOfMathSolving]

Sorunun Asıl çözümünü yazabilirseniz çok iyi olur aslında , tüm $a,b,c$ gerçekleri ifadesi biraz kafa karıştırıyor.

[MATSEVER 27]

$a=b=c$ verirsek $\dfrac{2}{3} \ge K$ olur. Biz $K=\dfrac{2}{3}$ için sağladığını gösterelim. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden;
$$\begin{align*}\sum_{cyc} \frac{a^3}{5a+b} + \sum_{cyc} \frac{3a^3}{5c+a} &=\sum_{cyc} \frac{a^4}{5a^2+ab} + 3 \sum_{cyc} \frac{a^4}{5ac+a^2} \\&\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{5(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca} + 3\cdot \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+5(ab+bc+ca)} \\&\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{6} + \frac{a^2+b^2+c^2}{2} \\&=\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)\end{align*}$$
olduğunu söyleyebiliriz. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

USAJMO 2012 #3