EŞİTSİZLİK $125$

[MATSEVER 27]

$xy+yz+zx \ge 3$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{x}{(z+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{x}{y}+z \right)(y+zx)} \text{  +  }\dfrac{y}{(x+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{y}{z}+x \right)(z+xy)} \text{  +  }\dfrac{z}{(y+1)^2} \sqrt{ \left(\dfrac{z}{x}+y \right)(x+yz)} \ge \dfrac{3}{2}$$
olduğunu gösteriniz.

(Mehmet Berke İşler)

[ArtOfMathSolving]

daha basit bir soru :
$xy+yz+zx\geq 3$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;

$\sqrt{x+\dfrac{3}{y}}+\sqrt{y+\dfrac{3}{z}}+\sqrt{z+\dfrac{3}{x}} \geq \dfrac{3}{4}$ olduğunu gösteriniz.