EŞİTSİZLİK $124$

[MATSEVER 27]

Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+a}} \le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$$
olduğunu gösteriniz.

(Vasile Cirtoaje)

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Çözümün Nesbitt kısmı hatalıdır. Kuvvetle muhtemel, problem Vasile Cirtoaje'nin Algebraic Inequalities kitabındandır.
Jensen ve Nesbitt Eşitsizliğini kullanacağız.

$\leq 3\sqrt{\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}}{3}}=3\sqrt{\frac{3-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})}{3}}\leq 3\sqrt{\frac{3-\frac{3}{2}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$