ifademizi $ \dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2}+\dfrac{(ab)^2}{(a+b)^2}+\dfrac{(bc)^2}{(b+c)^2}+\dfrac{(ac)^2}{(a+c)^2}$ şeklinde düzenleyelim.
Faydalı eşitsizlikten $2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac) \Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$ bulunur.
$B=\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2}$ ve $A=\dfrac{(ab)^2}{(a+b)^2}+\dfrac{(bc)^2}{(b+c)^2}+\dfrac{(ac)^2}{(a+c)^2}$ diyelim.
Chebyshev Eşitsizliğinden
$A\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{b^2}{(a+b)^2}+\dfrac{c^2}{(b+c)^2}+\dfrac{a^2}{(a+c)^2})}{3}$ olur.
$C=\dfrac{b^2}{(a+b)^2}+\dfrac{c^2}{(b+c)^2}+\dfrac{a^2}{(a+c)^2}$ dersek,
$C\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2})}{3}$ ve $A\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2(\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2})}{9} \Rightarrow A+B\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2(\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2})+9(\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2})}{9}$ ve buradan da
$A+B\geq \dfrac{10}{9}(\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2})$ elde edilir. Eğer $\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2}\geq \dfrac{9}{4}$ olduğunu gösterirsek ispat biter.
$(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2\geq 4$ olduğunu $2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)$ den biliyoruz.
Aritmatik Harmonik Ortalama eşitsizliğinden
$\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2}\geq \dfrac {9}{4}$ elde edilir. İspat biter.
Eksik olan kaçırdğım veya yanlış yaptığım bir yer varsa, lütfen belirtin.Çözüm yolu olarak daha kısa bir yol varsa da mutlaka yazın.
