$19^x+23^y=z^2$
İlk önce pozitif tamsayılarda inceleyelim.
$19^x+23^y\equiv 1+(-1)^y \equiv z^2\pmod{6}$
$y$ sayısı çift olursa $(-1)^y+1 \equiv 2 \equiv z^2\pmod{6}$ Çelişki.
$y$ sayısı tek olursa $(-1)^y+1 \equiv 0 \equiv z^2\pmod{6}$ Sağlanır. Dolayısıyla $y$ tek bir sayıdır.
$19^x+23^y\equiv (-1)^x-1 \equiv z^2\pmod{4}$
$x$ sayısı tek olursa $(-1)^x+1 \equiv -2 \equiv 2 \equiv z^2\pmod{4}$ Çelişki.
$x$ sayısı çift olursa $(-1)^x+1 \equiv 0 \equiv z^2\pmod{4}$ Sağlanır. Dolayısıyla $x$ çift bir sayıdır. $k>0$ bir pozitif tamsayı olmak üzere $x$ sayısını $2k$ formunda yazalım.
$23^y+(19^k)^2=z^2$
$23^y=(z-19^k)(z+19^k)$
Her iki çarpan da $23$'ün bir kuvveti olmalıdır.
$n>m$ ve $m+n=y$ olacak şekilde çarpanları
$z+19^k=23^n$
$z-19^k=23^m$ şeklinde yazalım ve taraf tarafa çıkaralım.
$23^n-23^m=2.19^k \Rightarrow 23^m(23^{n-m}-1)=2.19^k$
Sağ taraf $23$'e bölünemediğinden $m=0$ olmak zorundadır ve dolayısıyla $y=n$ olur. En sonunda denklem aşağıdaki formu alır.
$23^y-1=2.19^k$
Fakat $11|23^y-1 \Rightarrow 11|2.19^k$ olduğundan çelişki elde ederiz. Demek ki $x$ ve $y$ sayıları aynı anda pozitif bir tamsayı olamıyorlarmış.
$y=0$ olsun.
$19^x+1=z^2$
$19^x=(z-1)(z+1)$
Yukarıda yaptığımız gibi çarpanları isimlendirirsek
$19^n-19^m=2$ elde ederiz fakat bu denklemin çözümü yoktur.
$x=0$ olsun.
$23^y+1=z^2$
$23^y=(z-1)(z+1)$
Çarpanları isimlendirirsek
$23^n-23^m=2$ elde ederiz fakat bu denklemin de çözümü yoktur.
Dolayısıyla $x, y \in \mathbb{N}_0$ tamsayıları için $19^x+23^y$, bir tamkare olamaz.
