Eşitsizliğin doğru olduğunu varsayalım ve paydaki kareli ifadeler sayesinde Faydalı Eşitsizlik uygulayalım:
$\frac{(x+y-1)^2}{z}+\frac{(y+z-1)^2}{x}+\frac{(z+x-1)^2}{y}\geq \frac{(|x+y-1|+|y+z-1|+|z+x-1|)^2}{x+y+z}\geq \frac{(|2x+2y+2z-3|)^2}{x+y+z}\geq x+y+z$ (1)
$\frac{(2x+2y+2z-3)^2}{x+y+z}\geq x+y+z$
=> $(2x+2y+2z-3)^2\geq (x+y+z)^2$
$x,y,z\in \mathbf{R^+}$ olduğundan,
$2(x+y+z)-3\geq x+y+z$
=>$x+y+z\geq 3$ olmalıdır. Şimdi ise başta soruda verilen $xyz=1$ kriterini aritmetik-geometrik orta eşitsizliğinde koyarsak:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$. İspatlanması gerekeni devam ettirip bir koşul ürettik ve onu sorudaki verilen kriterlerden ispatlayarak soruyu bitirdik.
Güncelleme:
$x+y\leq 1$ durumları da olduğundan yani paylardaki ifadelerin içleri negatif olabileceğinden mutlak değeri işe kattık. Ardından da (1)'de $|a|+|b|+...\geq |a+b+...|$ eşitsizliğini kullandık. Bu bölüm çözümü tamamlar.
