Zor Eşitsizlik

[ArtOfMathSolving]

$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları $x+y+z\geq 1$ eşitsizliğini sağlıyorsa;

$\dfrac{x\sqrt{x}}{y+z}+\dfrac{y\sqrt{y}}{z+x}+\dfrac{z\sqrt{z}}{x+y}\geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ olduğunu gösteriniz.

(Kaynak:ImoMath)(Türev gerekebilir)

[ArtOfMathSolving]

$x+y+z\ge 1$ eşitsizliğinin sol tarafı $S=x+y+z$ ve $f(t)=\dfrac{t^{3/2}}{S-t}$ için $f(x)+f(y)+f(z)$ şeklinde yazılabilir.Her $S$ değeri  için, $f$ fonksiyonu $(0,S)$ aralığında konkavdır. 

Türevlersek,

$f^{\prime}(t)=\frac{\frac32 t^{1/2}(S-t)+t^{3/2}}{(S-t)^2}=\frac{t^{1/2}}{2(S-t)^2}\cdot (3S-t)$, Tekrar türev alalım,

$\begin{eqnarray*}f’’(t)&=&\frac{\left(\frac12t^{-1/2}(3S-t)-t^{1/2}\right)(S-t)+t^{1/2}(3S-t)\cdot2 }{2(S-t)^3}\\
&=&\frac{\left(3S-t-2t\right)(S-t)+4(3S-t)}{4t^{1/2}(S-t)^3}\geq 0,
\end{eqnarray*}$

eşitsizliği her $t\in (0,S)$ için geçerlidir.Bu nedenle;

$ f(x)+f(y)+f(z)\geq 3f\left(\dfrac{x+y+z}3\right)=3f(S/3)=3 \dfrac{\frac S3\sqrt{\dfrac S3}}{S-\dfrac S3}=
3\cdot \sqrt {\dfrac S3}\cdot \dfrac12\geq 3\cdot\dfrac1{2\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}2.$ eşitsizliği geçerlidir. İspat biter. $\spadesuit$

[matematik fatihi]

\[\frac{x\sqrt{x}}{y+z}+\frac{y\sqrt{y}}{x+z}+\frac{z\sqrt{z}}{x+y} \geq \frac{1}{3}(\sum x\sqrt{x})(\sum \frac{1}{y+z})\geq \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{(\sum x)^3}\frac{9}{2(x+y+z)}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x+y+z}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\]
olduğundan doğrudur.