EŞİTSİZLİK $88$

[MATSEVER 27]

$x,y,z$ negatif olmayan gerçel sayıları $x^2+y^2+z^2=2$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$xyz\ge 2 (x+y+z-1)$$
olduğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

$A.G.O$'dan $\dfrac {x+y+z}{3}\geq \sqrt [3]{xyz} \Rightarrow \dfrac {(x+y+z)^3}{27}\geq xyz$ elde edilir.
$K.A.O$'dan $\dfrac {\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{3} \geq \dfrac {x+y+z}{3}\Rightarrow \dfrac{2}{3} \geq \dfrac{(x+y+z)^2}{9}$ elde edilir. Her iki tarafı $(x+y+z)$ ile çarparsak , $2(x+y+z)\leq \dfrac{(x+y+z)^3}{3}$ elde ederiz
 İlk eşitsizliği 2 ile toplarsak $\Rightarrow \dfrac {(x+y+z)^3+54}{27}\geq  \dfrac {(x+y+z)^3}{3}\Rightarrow xyz\geq 2(x+y+z-1)$ bulunur.İspat biter

İyi çalışmalar...

[MATSEVER 27]

$xyz+2\geq \dfrac {(x+y+z)^3}{3}$ olduğunu nasıl elde ettiniz? Bu kısmı düzeltirseniz soruyu çözmüş olacaksınız. Kolay gelsin...