Bu soru başlı başına bir araştırma konusudur. Bu denklemdeki sadece $y=1$ durumu bile Thue denklemleri ile derin analizler yardımıyla çözülüyor (Nagel-Ljungrenn'in bu şekilde çözdüğü söylenmiş, ilgili ispata erişemedim.). Bu sorunun $n\leq 5$ ve $y=1$ için olan kısmını ekliyim;
$n=1$ için $x=y$ hariç ifade daima tam kare olur.
$n=2$ olsun. O halde her $a\in \mathbb{Z}_{\geq 2}$ için $x=a^2-1$ olur.
$n=3$ olsun. O halde $1+x+x^2=y^2$ olacak şekilde $y$ tamsayısı bulunmalıdır. $x^2<x^2+x+1<(x+1)^2$ eşitsizliği pozitif tamsayılarda daima geçerlidir. Çözüm gelmez.
$n=4$ olsun. O halde $1+x+x^2+x^3=y^2$ olacak şekilde $y$ tamsayısı bulunmalıdır. $x^3+x^2+x+1=x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^2+1)$ $(x+1,x^2+1)=(x+1,(x^2+2x+1-x^2-1))=(x+1,2x)=(x+1,2)\in\{1,2\}$ olur.
a) Varsayalım ki $(x+1,x^2+1)=1$ olsun. O halde $x+1=a^2$ ve $x^2+1=b^2$ olacak şekilde $a,b$ tam sayıları vardır. $2.$ ifadeyi doğrudan $x^2<x^2+1<x^2+2x+1$ eşitsizliği arasına sıkıştırabiliriz. Çözümsüzdür.
b) O halde $(x+1,x^2+1)=2$ olması gerektiğini bulduk. Bu bize $x$ in tek sayı olma şartını zorunlu kılar $x=2k+1$ , $k\in Z^+$ vardır. ($x=1$ i yok saydım paydada $x-1$ terimi olduğu için) O halde ifademiz $(2k+2)(4k^2+4k+1+1)=y^2$ yani $(k+1)(2k^2+2k+1)=l^2$ olacak şekilde $l\in Z$ vardır. $k+1=u^2$ , $u\in Z^+$olsun. O halde $2(u^2-1)^2+2.(u^2-1)+1=2u^4-4u^2+2+2u^2-2+1=2u^4-2u^2+1=p^2$ , $p\in Z$ vardır.
İlginç bir şekilde bu soru $78)$ de çözümünü verdiğim diyafont denkleme dönüşmüş oldu. Bu denklemin negatif olmayan tam sayılarda $(0,1),(1,1),(2,5)$ harici çözümü yoktur. $u=0$ için $k=-1$ olur bunu istemiyoruz. $u=1$ için $k=0$ $x=1$ olur. Ancak orijinal denklemin paydasında $x-1$ bulunduğu için elenir. $u=2$ için $k=3$ yani $x=7$ olur. Gerçekten de denklemi
$7^3+7^2+7+1=400=20^2$ olarak sağlar. $(7,4)$ çözümü gelir.
$n=5$ olsun. $1+x+x^2+x^3+x^4=y^2$ olacak şekilde $y$ tamsayısı bulunmalıdır. $132)$ de kurduğumuz sınıra benzer şekilde $4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4y^2$ ifadesini $$(2x^2+x)^2=4x^4+4x^3+x^2<4x^4+4x^3+4x^2+4x+4<(2x^2+x+1)^2=4x^4+x^2+1+2(2x^3+2x^2+x)=4x^4+4x^3+5x^2+2x+1$$ olarak sıkıştırabiliriz. Sınır değerlerin daima sağlanmasını engelleyen $x$ aralığını bulmalıyız. Alt sınır daima sağlanıyor. Üst sınır için $x^2-2x-3>0$ yani $(x-3)(x+1)>0$ yani $x\in[-1,3]$ için sağlanmıyor. O halde $x=1$ koyarsak $1^4+1^3+1^2+1+1=5$ olur sağlanmaz. $2^4+2^3+2^2+2+1=31$olur sağlanmaz. $3^4+3^3+3^2+3+1=121=11^2$ olur. $(3,5)$
O halde denklemin genel çözümleri şu şekilde olur: $\{ (t,1),(t^2-1,2),(7,4),(3,5) \} ,t\in \mathbb{Z}_{\geq 2}$ şeklinde genel çözümleri olur. Bu konuyla ilgili bulabildiğim bazı çalışmaları ekleyeyim.
https://personal.math.ubc.ca/~bennett/BeLe-Mona-2015.pdf Bir diğer çalışmayı da linkini bulamadığım için ek şeklinde paylaştım.
https://arxiv.org/pdf/1412.5798Bir de Preda Mihailescu' nun $x$ in en fazla $4$ asal böleni vardır şeklinde bir sonucu var.
