EŞİTSİZLİK $71$

[MATSEVER 27]

Tüm $x,y,z $  gerçel sayıları için;
$$(x^2+y^2+z^2)^2 \ge M (x^3y+y^3z+z^3x) $$
olmasını sağlayan en büyük $M$ gerçel sabitini belirleyiniz ve tüm eşitlik durumlarını bulunuz.

[ArtOfMathSolving]

lemma:$(x^2+y^2+z^2)^2\le (x^3+y^3+z^3)(x+y+z)$ dir.(Cauchy -Schwarz'dan görülebilir.)

chebyshev eşitsizliğinden $M(x^3y+y^3z+x^3z)\leq \dfrac{M(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)}{3}\leq (x^2+y^2+z^2)^2$ elde edilir. Buradan $M(x^3y+y^3z+x^3z)\leq 3(x^2+y^2+z^2)^2$ $M$'nin en büyük değeri 3 olup , eşitlik durumu $x=y=z$ durumunda mümkündür.

[MATSEVER 27]

Lemmanın ispatında yanlışlık yapmışsınız galiba. Cauchy-Schwarz'dan $(x^2+y^2+z^2)^2\leq (x^3+y^3+z^3)(x+y+z)$ olduğunu biliyoruz. Bu küçük hatayı belirtmek istedim. Çalışmalarınızda kolaylıklar...