$(x+y)^x=y^x+1413$ eşitliğini sağlayan $(x,y)$ { çözüldü }

[MATSEVER 27]

$(x+y)^x=y^x+1413$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ tamsayı ikililerini bulunuz.

[Lokman Gökçe]

$x$ tamsayısının negatif ya da $0$ olamayacağı açıktır. $x>0$ dır. $(x+y)^x-y^x=1413$ olup çarpanlara ayırırsak sol tarafta $(x+y-y)$ çarpanı, yani $x$ çarpanı vardır. $x$ tamsayısı $1413=3^2\cdot 157$ sayısını tam böler. $x=1$ için denenirse çözüm gelmez.

$x=3$ için denenirse $(y+3)^3-y^3=3^2\cdot 157$ denkleminden $y^2+3y-154=0$ olup $y=11$ ve $y=-14$ çözümleri bulunur.

$x=9$ için denenirse $(y+9)^9-y^9=3^2\cdot 157$ olur. $y$ nin $0$ a yakın bazı negatif ve pozitif tamsayı değerlerinde bile sol taraf çok hızlı büyüdüğünden denklemin çözümü yoktur. Benzer biçimde $x$ in daha büyük değerlerinde de çözüm gelmez.

Tüm çözümler $(3,11)$ ve $(3,-14)$ tür.