Kombinatorik Sorusu $15$ { çözüldü }

[MATSEVER 27]

$\text{ i.}$ $23 \times 23$ bir tabloya $1,2,3,$ $...$ $,n$ sayıları yazılıyor. Aynı numaraya sahip ortak kenara sahip $2$ kare olmayacak şekilde bir boyama yapılabilmesini sağlayan en küçük $n$ sayısını belirleyiniz.

$\text{ii.}$ $23 \times 23$ bir tabloya $1,2,3,$ $...$ $,n$ sayıları yazılıyor. Aynı numaraya sahip ortak köşeye sahip $2$ kare olmayacak şekilde bir boyama yapılabilmesini sağlayan en küçük $n$ sayısını belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

Komşu karenin tanımı da verilmelidir. Ortak kenara sahip karelere mi komşu kareler diyeceğiz, yoksa ortak köşeye sahip karelere mi komşu kare diyeceğiz?

Ortak köşelere sahip karelere komşu kareler dendiğini varsayarak çözüm yapalım. $n \leq 3$ için böyle bir yazılış yapılamayacağı açıktır. $n=4$ için bu yazılış mümkündür. Örnek verelim: İlk satıra $1,2,1,2,1,2, \dots $, ikinci satıra $3,4,3,4,3,4, \dots $, üçüncü satıra $1,2,1,2,1,2, \dots $ vs yazarak yukarı doğru çıkarız  ve bu işlem tamamlanır.

[Lokman Gökçe]

Problemdeki yeni açıklamaları da göz önüne alırsak (ii) kısmını yukarıda çözmüş oluyoruz. Şimdi (i) kısmını çözelim. $n=1$ için bu boyamanın yapılamayacağı açıktır. $n \geq 2$ dir. $n=2$ için örnek durum verirsek problem çözüme kavuşur:

İlk satıra $1,2,1,2,1, \dots$, ikinci satıra $2,1,2,1,2,\dots$, 3. satıra $1,2,1,2,1, \dots$ ...vs yazılarak devam edilerek yukarı satırlara çıkılır ve problem tamamlanır.