Denklemi $\pmod 3$ altında incelersek Sol tarafın $1$ olduğundan sağ tarafın da $2.(-1)^y-1\equiv 1\pmod 3$ sağlaması gerektiği görülebilir. Buradan da $y$ nin çift olması gerektiği açıktır.
Denklemi $\pmod 4$ altında incelersek $7^x\equiv 1\pmod 4$ olur ki buradan $x$ in çift olduğu görülebilir. $x=2x_0$ ve $y=2y_0$ dönüşümlerini yapalım.
$49^{x_0}+1=2.25^{y_0}$ olur. Bang-Zsigmondy Teoremi'ni uygulayalım. Sol taraf daima çift olduğu için $2$ primitif asal olamaz. Benzer şekilde her çift $x_0$ için ifade $5$ e bölündüğünden $5$ asalı da $x_0=1$ hariç primitif asal olamaz. Dolayısıyla Bang Zsigmondy teoremi gereği $x_0>1$ için daima yeni bir $2$ ve $5$ ten farklı bir $p$ asalı vardır. Denkleminin olası çözümleri pozitif tam sayılar kümesinde $x_0=1$ yani $x=2$ olarak gelir. (Bu sorularda Bang-Zsigmondy teoremi yerine Kuvvet Kaydırma Teoremi de kullanılabilir.)
$x=2$ için $5^y=25$ yani $y=2$ bulunur. Dolayısıyla denklemin pozitif tam sayılar kümesinde tek çözümü $(2,2)$ olmalıdır.
Not: Bu soruya benzer başka bir soru olarak Diyafont Denklemler çalışma soruları kısmında $20.$ soru olan Tubitak UMO $2018$ $1.$ aşama sorusunun ilk çözümünde benzer yöntem kullanmıştık. O soruda Bang-Zsigmondy Teoremi yerine LTE teoremi kullanılmıştı. https://geomania.org/forum/index.php?topic=6419.0
