Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2015 Soru 4

[Eray]

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ olsun. $D$ den geçip $AB$ ye $B$ noktasında teğet olan çember ile $D$ den geçip $AC$ ye $C$ noktasında teğet olan çember $D$ den farklı bir $M$ noktasında kesişiyorlar. $M$ nin $BC$ ye göre yansıması olan $M'$ noktasının $AD$ doğrusu üzerinde bulunduğunu gösteriniz.

(Melih Üçer)

[ERhan ERdoğan]

Problemde bahsi geçen teğet çemberlerden $\angle{ABC}=\angle{BMD}$ ve $\angle{ACB}=\angle{CMD}$ açı ilişkileri bulunabilir.
 
Bu ilişkiye göre, $\angle{BAC}+\angle{BMC}=180^\circ$ olup $ABMC$ kirişler dörtgenidir.

$M$ nin $BC$'ye göre yansımasının $AD$ üzerinde olması $\angle{ADB}=\angle{MDB}$ olmasını gerektirir. Bu durumun gerçekleşmesi $\triangle{ABD}\sim \triangle{BMD}$ ve ya $\triangle{ADB} \sim \triangle{CMD} $ olacağını göstermektedir.

$ABMC$ kirişler dörtgeninde, $\angle{BAM}=\angle{BCM} , \angle{AMB}=\angle{BCA}$ olduğundan $\triangle{ABM} \sim \triangle{CDM}$ dir. Buradan, $\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{MC}{MA}=\dfrac{DC}{AB}$ ve $DC=BD$ olduğundan, $\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{BD}{AB}$ dir. $\angle{ABD}=\angle{BMD}$ olduğundan bulunan son orantı $ABD$ üçgeni ile $BMD$ üçgeninin benzerliğine işaret eder ki aradığımız budur.