EŞİTSİZLİK $21$ {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$x,y,z$ gerçel sayıları $2(x^4+y^4+z^4)$ $\le$ $3x^2y^2z^2$ eşitsizliğini sağlıyorsa;
$$\sqrt{4-x^2}+\sqrt{4-y^2}+\sqrt{4-z^2}$$
alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

[taftazani44]

..

[MATSEVER 27]

Ancak eşitlik durumu bulmamışsınız galiba. Çözümü bir kez daha incelemeniz gerekebilir. Çünkü cevabın $3$$\sqrt{2}$ olması gerekiyor. Eşitlik $x^2=y^2=z^2=2$ için sağlanıyor.

[MATSEVER 27]

$\text{Cauchy Schwarz}$ eşitsizliğinden $(x^2+y^2+z^2) (x^4+y^4+z^4) $ $\ge$ $(x^3+y^3+z^3)^2$ dir. $A.G.O$ dan $x^3+y^3+z^3$ $\ge$ $3xyz$ dir. Az önce elde ettiğimiz veride yerine yazarsak  $(x^2+y^2+z^2) (x^4+y^4+z^4) $ $\ge$ $9x^2y^2z^2$ dir. Bize ilk verilen koşuldan $(x^2+y^2+z^2)$$.$ $\dfrac{3}{2}$ $x^2y^2z^2$ $\ge$ $(x^2+y^2+z^2) (x^4+y^4+z^4)$ $\ge$ $9x^2y^2z^2$ olur. Buradan $(x^2+y^2+z^2)$ $\ge$ $6$ olur. $\text{Cauchy Schwarz}$ eşitsizliğinden $3((4-x^2)+(4-y^2)+(4-z^2))$ $\ge$ $S^2$ tir. ($S$ bizden istenen ifade) O halde $S$ $\le$ $3$$\sqrt{2}$ elde edilir.

[taftazani44]

Teşekkürler