$\dfrac{1}{a}$ $+$ $\dfrac{1}{b}$ $+$ $\dfrac{1}{c}$ $+$ $\dfrac{1}{abc}$tamsayı

[MATSEVER 27]

$\dfrac{1}{a}$ $+$ $\dfrac{1}{b}$ $+$ $\dfrac{1}{c}$ $+$ $\dfrac{1}{abc}$  bir tamsayı olacak şekilde kaç $(a,b,c)$ pozitif tamsayı üçlüsü vardır?

[taftazani44]

1/a+1/b+1/c+1/abc tam olacak. (ab+ac+bc+1)/abc tam olacak.
(1,1,1) bir çözüm dür.
Yani ab+ac+bc+1=k.abc olmalı.
abc>8 iken
abc<ab+ac+bc+1<3abc dır.
ab+ac+bc+1=2abc ve a=1,2,3,4,...
Denediğimde
a=1 için (1,2,3) olur.(6 tane )
a=2 için farklı durum yok
a=3 için farklı durum gelmez.
a=4 için b ve c tamsayıları yok.
a>4 için b nin payı<payda olduğundan çözüm gelmez.
Toplam 7 tane (a,b,c) pozitif tam sayı üçlüsü olur.( inş.gözden kaçan bir durum olmamıştır.