EŞİTSİZLİK $11$

[MATSEVER 27]

$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere $a^2+b^2+c^2$ $\ge$ $a+b+c$ olduğuna göre tüm $i$ $>$ $j$ pozitif tamsayıları için $a^{i}+b^{i}+c^{i}$ $\ge$ $a^j+b^j+c^j$ olduğunu gösteriniz.

[Eray]

$(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$ olduğunu Cauchy-Schwarz'dan biliyoruz.

Eşitsizliğin yönü ters olmalı. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği bize $(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\ge(a^2+b^2+c^2)^2$ olduğunu söyler.

Ayrıca soruda ispatlamamız gereken, herhangi iki $i>j$ pozitif tamsayıları için $a^i+b^i+c^i\ge a^j+b^j+c^j$ olduğudur. Örneğin $100>70$ olduğundan $a^{100}+b^{100}+c^{100}\ge a^{70}+b^{70}+c^{70}$ olması gerekiyormuş. Çözümünüzde bunla alakalı olan bir şey göremedim.

[ArtOfMathSolving]

Genelliği bozmadan $a\geq b\geq c$ kabul edip, $a^i+b^i+c^i\geq \dfrac{(a^{i-5}+b^{i-5}+c^{i-5})(a^5+b^5+c^5)}{3}\geq a^j+b^j+c^j$ ve $i > j$ olacak şekilde $a,b,c,i,j$ gerçel sayıların varlığından söz etmek mümkün mü yoksa ben soruyu tamamen yanlış mı algılıyorum ? veya buradan yola çıkarak soruda verilen ifadenin doğruluğundan söz etmek mümkün mü ?