Kombinatorik Sorusu $12$ {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$\text{{1,2,...,2015}}$ kümesinden herhangi $2$ sayının toplamı $26$ ya bölünecek şekilde en çok kaç sayı seçilebileceğini belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

Seçtiğimiz tamsayılardan dördü $a,b,c,d$ olsun. $a + b \equiv a + c \equiv a + d \equiv b + c \equiv b + d \equiv 0 \pmod{26}$ olmalıdır. Bu denkliklerden $ a\equiv -d \pmod{26}$, $ b\equiv -d \pmod{26}$, $ c\equiv -d \pmod{26}$ olup $ a \equiv b \equiv c \equiv d \pmod{26}$ bulunur. Yani seçilen tüm sayılar birbirine denk olmalıdır. $a + b \equiv 0 \pmod{26}$ denkliğinden $ 2a \equiv 0 \pmod{26}$ olup $ a \equiv 0 \pmod{13}$ bulunur. Yani $13$ ün katlarını seçmeliyiz. $2015 = 155 \cdot 13 $ olduğundan bu biçimde en çok $155$ tane sayı seçilebilir.