$3^a$ $-$ $5^b$ bir tamkare olacak şekilde tüm $(a,b)$ pozitif tamsayı ikilileri

[MATSEVER 27]

$3^a$ $-$ $5^b$ bir tamkare olacak şekilde tüm $(a,b)$ pozitif tamsayı ikililerini belirleyiniz.

[Abdullah demircan]

$3^{a}-5^{b}=x^2$ yazalım.$mod4$'ten $a$ çift olmalıdır. $a=2k$ yazalım.
$(3^{k}-x)(3^{k}+x)=5^{b}$.$ebob(3^{k}-x,3^{k}+x)=1$ olduğundan dolayı $3^{k}-x=1$ olmalıdır.$2.3^{k}-1=5^{b}$.$k>1$ ise $5^{b}=8(mod 9)$ olduğundan dolayı $3|b$ olmalıdır.$b=3t$ yazalım.$2.3^{k}=(5^{t}+1)(5^{2t}-5^{t}+1)$.$ebob(5^{t}+1,5^{2t}-5^{t}+1)=3$ olduğundan dolayı ya $5^{t}+1=6$'dır ya da $5^{2t}-5^{t}+1=3$'tür.eğer ilkiyse $5^{t}=5$ olur fakat ilk denklemi sağlamaz. diğerinin de çözümü yoktur zaten. o zaman $k=1$ olmalıdır.$a=2,b=1$ gelir.