$1457^n$ $+$ $546^n$ $+$ $814=n^2$ {şimdi tam çözüldü :) }

[MATSEVER 27]

$\text{ i.}$ $1457^n$ $+$ $546^n$ $+$ $814$ sayısının hiçbir $n$ doğal sayısı için tamkare olamayacağını gösteriniz.

$\text{ii.}$ $x^2$ $-$ $814$ $=$ $2003y$ eşitliğini sağlayan tüm $(x,y)$ doğal sayı ikililerini belirleyiniz.

[taftazani44]

 Kare sayı mod 4 te 0,1,2 olabilir.
1+2^n+2
2^n+3 ifadesi  n=1 hariç 3 e denk olur.Yanı tamkare olmaz.
 n=1 için de yerine yazıp bakılır

[Lokman Gökçe]

İkinci problem çözülmemiş. Onu da tamamlayalım. Denklemi $\mod 2003$ te incelemeliyiz. $2003$ asal sayı olduğundan $x^2 \equiv 814 \pmod {2003}$ olmalıdır. Bu ise $\left( \dfrac{814}{2003} \right)$ Jacobi sembolünün hesaplanmasına denktir. Bu kısmın hesabını Jacobi sembolünün özelliklerini ve quadratic residue teoremini kullanarak yapabiliriz. İşlemleri yapmak yerine ben hemen http://math.fau.edu/richman/jacobi.htm linkinden faydalanıp $\left( \dfrac{814}{2003} \right) = -1$ olduğunu gördüm. Yani tamsayılarda çözüm yoktur.