$x^2$ $+$ $xy$ $+$ $y^2$ $=$ $\left(\dfrac{x+y}{3} + 1\right)^3$ (USAMO 2015)

[MATSEVER 27]

$x^2$ $+$ $xy$ $+$ $y^2$ $=$ $\left(\dfrac{x+y}{3} + 1\right)^3$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır?

$\text{[USAMO 2015]}$

[AtakanCİCEK]

Klasik $u=x+y$ ve $v=x-y$  dönüşümlerini yaparsak ($u,v$  tam sayı)   $xy=\dfrac{u^2-v^2}{4}$ ve $x+y=u$  elde ettiğimizden yola çıkarsak $$u^2-\dfrac{u^2-v^2}{4}=(\dfrac{u}{3}+1)^3$$ denklemini elde ederiz. Denklemin sol tarafı tam sayı olduğundan yola çıkarsak $3|u$ geldiğinden dolayı $u=3k$, $k\in \mathbb{Z}$   dönüşümü yapalım. $$\dfrac{27k^2-v^2}{4}=(k+1)^3$$ Buradan

$$v^2=4k^3-15k^2+12k+4=(k-2)^2.(4k+1)$$ Buradan $k=2$  veya  $4k+1$  tek bir tam kare olması gerektiğini görürüz. $4k+1=(2t+1)^2$ ,$t\in \mathbb{Z}$ dönüşümü yapalım. Bu durumda $k=t^2+t$ elde ederiz.
 
$v=(t-2)(t+1)(2t+1)$ (veya bunun $-$ lisi ancak parametrizasyonlardan birini bulmamız sonsuz çözüm göstermek için yeterli. )  ve $u=3t(t+1)$ olur. Buradan $x=t^3+3t^2-1$  ve $y=1+3t-t^3$ sonuçlarını elde ederiz. Bu parametrizasyon da bize denklemin tam sayılar kümesinde sonsuz çözümü olduğunu gösterir.

[Metin Can Aydemir]

$$v^2=4k^3-15k^2+12k+4=(k-2)^2.(4k+1)$$ Buradan $4k+1$  tek bir tam kare olması gerektiğini görürüz. $4k+1=(2t+1)^2$ ,$t\in \mathbb{Z}$ dönüşümü yapalım. Bu durumda $k=t^2+t$ elde ederiz.

Çok kısa bir noktayı açıklamak gerekiyor. $4k+1$'in tamkare olma şartı sadece $k\neq 2$ iken geçerlidir ancak şansımıza burada $k=2$ iken de tamkare çıkıyor, bu yüzden problem yokmuş gibi gözüküyor. Ancak, $4k+1$ değil de $8k+1$ çarpanı olsaydı, $k=2$ için de diskriminant hâlâ tamkare olurdu fakat $8k+1$ olmazdı.

Bunun sebebi de aslında çoğunlukla atlanılan ara adımlar (durumlar gözardı edilmediği sürece atlanılmasında bir problem yok tabii). $$t^2=(k-2)^2(4k+1)\implies \left(\frac{t}{k-2}\right)^2=4k+1\quad\text{veya}\quad k=2$$ $$\implies 4k+1\quad\text{bir rasyonel sayının karesidir veya}\quad k=2$$ $$\implies 4k+1\quad\text{bir tamkaredir veya}\quad k=2.$$