$3x^2$ $+$ $x$ $=$ $4y^2$ $+$ $y$ eşitliği sağlanıyorsa $x-y$ tamkare

[MATSEVER 27]

$x,y$ pozitif tamsayılar olmak üzere $3x^2$ $+$ $x$ $=$ $4y^2$ $+$ $y$ eşitliği sağlanıyorsa $x-y$ nin tamkare olduğunu gösteriniz.
                                                                                                                                                                                         

$\text{(Fransa Takım Seçme $2005$)}$

[MATSEVER 27]

İfadeyi düzenleyelim. $3x^2-3y^2+x-y$ $=$ $y^2$ olur. $(x-y)(3x+3y+1)$ $=$ $x^2$ olur. Eğer $\text{obeb}$ $(x-y,3x+3y+1)$ $=$ $1$ gösterirsek $x-y$ de tamkare olmalıdır. Bunu göstermeye çalışalım. Diyelim ki $\text{obeb}$$(x-y,3x+3y+1)$ $=$ $d$ olsun ve $d>1$ olsun. O halde $d|y$ olmalıdır. Yani $\text{obeb}$$(x-y,y)$ $\ge$ $d$ $>$ $1$ olur. $(x,y)$ $>$ $1$ olmalı. Ayrıca $\text{obeb}$$(3x+3y+1,y)$ $=$ $(3x+1,y)$ $\ge$ $d$ $>$ $1$ olmalıdır. O halde son iki bilgiden $(3x+1,x)$ $>$ $1$ olmalıdır. Ancak  $(3x+1,x)$ $=$  $(3x+1,3x)$ $=$ $1$ dir. Çelişki! Kabul yanlıştır ve $\text{obeb}$$(x-y,3x+3y+1)$ $=$ $1$ dir. İspat biter.