$5.2^x$$+$$7.3^y$ tamkare {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$5.2^x$$+$$7.3^y$ bir tamkare olacak şekilde tüm $(x,y)$ doğal sayı ikililerini belirleyiniz.

[taftazani44]

2^x=a ve 3^y=b diyelim
5a+7b=n²
7=1.5+2
5=2.2+1 ise
1=5-2.2=5-2(7-5)
1=5.3+7(-2)
n²=5(3n²)+7(-2n²)
Yanı 2^x=3n² ve -2n²=3^y yı sağlayan doğal x,y sayılarını bulmak gerekiyor.
mod 3 te 2^x≈0   ve mod2 3^y≈0 olmalı
bunlar mümkün olmadığı için çözüm yok

[mmrtkmss]

$5.2^x$$+$$7.3^y=a^2$
$mod 7$'de incelersek:
$5.2^x≡a^2 (mod 7)$
$2^x≡1,2,4(mod 7)$ ve $a^2≡0,1,2,4(mod 7)$ olduğunu biliyoruz.
$2^x≡1(mod 7)$ olursa $5.2^x≡5(mod 7)$ olur. Çelişki.
$2^x≡2(mod 7)$ olursa $5.2^x≡3(mod 7)$ olur. Çelişki.
$2^x≡4(mod 7)$ olursa $5.2^x≡6(mod 7)$ olur. Çelişki.

Denklemin doğal sayılarda çözümü yoktur.