2015 ortaokul kamp sonu sınavı soru 3. {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$a$ ve $b$ pozitif tamsayı olmak üzere kenarları $a$, $b$, $2015-a-b$ olan bir üçgen bulunmasını sağlayan kaç $(a,b)$ ikilisi vardır?

[Lokman Gökçe]

Üçgen eşitsizliğinden dolayı $a,b \leq 1007$ ve $a+b \geq 1008$ dir. Bu koşular altında

$a+b = 1008$ durumunda $1007$ çözüm çifti, $a+b = 1009$ durumunda $1006$ çözüm çifti, ... , $a+b = 2014$ durumunda $1$ çözüm çifti elde edilir. Toplam $1 + 2 + \cdots + 1007 = \dfrac{1007\cdot 1008}{2} = 507528$ tane $(a,b)$ çözüm çifti elde edilir.