doğrusal kesim noktaları

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ iç açıortaylarına orta noktalarından çizilen dikmelerin $BC, CA, AB$ doğrularını kestiği noktalar sırasıyla $P,Q,R$ dir. Bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunduğunu gösteriniz.   

[ERhan ERdoğan]

$|PA|=|PD|$ olduğundan $\angle{PAD}=\angle{PDA}=\angle{BAD}+\angle{ABD}$ olur ve $[AD]$ açıortay olduğundan $\angle{PAC}=\angle{ABC}$ dir. Bu açı ilişkisi $AP$ nin $(ABC)$ çemberine teğet olduğunu göstermektedir. Benzer şekilde $BQ$ ve $CR$ de $(ABC)$ çemberine teğet doğrulardır.
Bir üçgenin çevrel çemberine köşelerinden çizilen teğetlerin üçüncü kenarları kestiği noktalar aynı doğrunun üzerindedir.
Bu doğruya  Lemoine Doğrusu denir.

[ERhan ERdoğan]

$A$ açısının dış açıortayı $AD'$ olsun. $P$ noktasının $[DD']$ nün ortası olduğu kolaylıkla görülebilir. Benzer şekilde $B$ açısının $BE, BE'$ ve $C$ açısının $CF, CF'$ açıortayları çizilirse $Q$ ve $R$ noktaları da sırasıyla  $[EE']$ ve $[FF']$ nün orta noktalarıdır. 

Lemma1. Bir üçgende iki iç açıortay ayağı ile üçüncü köşenin dış açıortay ayağı doğrusaldır.

Lemma2. Bir üçgende dış açıortay ayakları doğrusaldır.

Bundan dolayı $\{D',E,F\} , \{E',D,F\} , \{F',D,E\} , \{D', E', F'\}$ nokta grupları doğrusaldır. Bu doğruların oluşturduğu tam dörtgende $[DD'], [EE'], [FF']$ köşegenlerinin orta noktaları olan  $P, Q, R$ doğrusaldır. Bu doğruya Newton-Gauss Doğrusu denir.