Gönderen Konu: İki katlı integral  (Okunma sayısı 1739 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
İki katlı integral
« : Ağustos 25, 2015, 03:06:47 öö »
Soru (L. Gökçe):

$\int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}}\int\limits_{x/2}^{\sqrt{\pi}/2} \cos(y^2)dydx$   integralinin sonucu kaçtır?


$
\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt2}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt\pi}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\pi}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt3}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt2}{2}
$
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: İki katlı integral
« Yanıtla #1 : Ocak 03, 2016, 06:09:43 ös »
Yanıt: $\boxed{E}$

$\cos{y^2}$ fonksiyonunun $y$ değişkenine göre belirsiz integralini bulamadığımız için bu güçlüğü ortadan kaldırmak amacıyla çift katlı integralimizin sınırlarını değiştireceğiz. Üzerinde integral hesaplanacak bölge aşağıda taralı olarak belirtilmiştir.


Buna göre

$I= \int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}}\int\limits_{x/2}^{\sqrt{\pi}/2} \cos(y^2)dydx = \int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}/2}\int\limits_{0}^{ 2y} \cos(y^2)dxdy $ olur. Artık $\cos{y^2}$ fonksiyonunun $x$ değişkenine belirsiz integralini alarak kolaylıkla ilerleyebiliriz.

$I= \int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}/2}\cos{y^2}(2y)dy $ olur. Hemen $y^2=t$ değişken değiştirmesi yapalım ve $2ydy=dt$ olup

$I=\int\limits_{0}^{\pi /4}\cos{t}dt = \sin{\dfrac{\pi}{ 4}} - \sin{0}= \dfrac{\sqrt 2}{2}$ elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal