Gönderen Konu: Standart Sapma  (Okunma sayısı 1500 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Standart Sapma
« : Ağustos 23, 2015, 11:08:37 ös »
Soru (L. Gökçe):

$X$ sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, sayı doğrusu üstünde alınan keyfi bir $x \in \left[ \ 1, a \right]$ noktasının orijine olan uzaklığı ile ters orantılı olarak veriliyor. Bu $X$ rassal değişkeni için standart sapma kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{\dfrac{4e-e^2-3}{2}}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{\dfrac{4e-e^2-2}{2}}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{\dfrac{5e-e^2-3}{2}}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{\dfrac{5e-e^2-2}{2}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı gahiax

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 443
  • Karma: +8/-0
Ynt: Standart Sapma
« Yanıtla #1 : Ağustos 23, 2015, 11:59:58 ös »
Yanıt: $\boxed{A}$

Çözüm(H.İ.AYANA):

$X$ sürekli rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x)=\dfrac1x  $ dir. Standart sapmayı $\sigma$ ile göstereceğiz. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımı gereğince $[1,a]$ aralığı üzerinden integralinin $1$'e eşit olması gerekir.                                                                                   

$\int\limits^a_1 {\dfrac1x} \, dx=1\to \ln a -\ln 1=1\to a=e$  bulunur. Ayrıca
$$\sigma =\sqrt{Var [ X ]}=\sqrt{E[X^2]-E[X]^2}$$
formülü geçerlidir. Şimdi  $E[X^2]$  ve  $E[X]^2$ ifadelerini hesaplayalım.
$$E[X^2]=\int\limits^e_1 {x^2\dfrac1x} \, dx=\dfrac{e^2-2}2$$
$$ E[X]^2=(\int\limits^e_1 {x\dfrac1x}\ dx)^2= (e-1)^2 $$
Bu eşitliklerden $\sigma=\sqrt{Var(x)}=\sqrt{\frac{e^2-2}2-(e-1)^2 }= \sqrt{\dfrac{4e-e^2-3}{2}}$  bulunur.
« Son Düzenleme: Ağustos 24, 2015, 12:21:30 öö Gönderen: scarface »
geometri en sade tanımıyla düşünce okuma sanatıdır(gahia)

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal