Gönderen Konu: 2. mertebeden diferansiyel denklem  (Okunma sayısı 1617 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
2. mertebeden diferansiyel denklem
« : Ağustos 17, 2015, 02:06:12 öö »
Soru (L. Gökçe):

İki özel çözümü $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$ olan 2. mertebeden diferansiyel denklem aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ y'' + 4y' + 4y = 0
\qquad\textbf{b)}\ y'' - 4y' + 4y = 0
\qquad\textbf{c)}\ y'' + xy'= 0
\qquad\textbf{d)}\ y'' + 4y = 0
\qquad\textbf{e)}\ y'' - 2y'  = 0
$
« Son Düzenleme: Ağustos 17, 2015, 02:21:33 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: 2. mertebeden diferansiyel denklem
« Yanıtla #1 : Ağustos 19, 2015, 10:00:29 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

Çözüm 1: Sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemler teorisinin iyi bilinen bir teoremini kullanacağız

Teorem: $a \neq 0$, $b$, $c$ gerçel sabitler olmak üzere $ay''+by'+cy=0$ diferansiyel denklemi verilsin. $ar^2+br+c=0$ karakteristik denklemini göz önüne alalım. Bu denklemin kökleri $r_1$ ve $r_2$ olsun.

1) $r_1 \neq r_2$ ise diferansiyel denklemin genel çözümü $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ dir.

2) $r_1 = r_2$ ise diferansiyel denklemin genel çözümü $y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_2x}$ dir.

Bu teoreme göre, verilen lineer bağımsız çözümler $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$ olduğundan $r_1=r_2=2$ dir. Dolayısıyla karakteristik denklem $(r-2)^2=r^2-4r+4=0$ olup diferansiyel denklem $y'' -4y' +4y=0$ bulunur.

Çözüm 2: Seçenekler denenirse $y=xe^{2x}$ için $y'=e^{2x} + 2xe^{2x}$, $y''=4e^{2x} +4xe^{2x} $ olup bu ifadelerin $y'' -4y' +4y=0$ denklemini sağladığı görülebilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: 2. mertebeden diferansiyel denklem
« Yanıtla #2 : Ağustos 23, 2015, 11:22:56 ös »
Çözüm 3: $e^{2x}$ ve $xe^{2x}$, $x$ değişkenine göre lineer bağımsız fonksiyonlar olduğundan genel çözümü $y=C_1e^{2x} + C_2xe^{2x}$ olan diferansiyel denklemi kurmalıyız. Birinci ve ikinci türevleri hesaplarsak

$y'=2C_1e^{2x} + C_2e^{2x} + 2C_2xe^{2x} = (2C_1 + C_2)e^{2x} + 2C_2xe^{2x} $,

$y''= 2(2C_1 + C_2)e^{2x} + 2C_2e^{2x} + 4C_2xe^{2x} = 4(C_1 + C_2)e^{2x} + 4C_2xe^{2x}$

bulunur. Bu eşitliklerden $C_1$ ve $C_2$ yok edilirse $y'' -4y' + 4y = 0$ diferansiyel denklemine ulaşırız.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal