Tamsayı Denklem {Çözüldü}

[senior]

0 < x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ < 50 denkleminin x_i > -2 şartı sağlanmak üzere kaç farklı tamsayı çözümü vardır?

[Lokman Gökçe]

Cevap: $\binom{67}{6} - \binom{18}{6}$.

$x_i=a_i -2 $, $a_i \geq 0$ dönüşümü yapalım. Denklem $12 < a_1 + a_2 + \cdots + a_6 < 62$ şekline gelir. $a_1 + a_2 + \cdots + a_6 < 62$ eşitsizliğini çözmekle $a_1 + a_2 + \cdots + a_6 +a_7 = 61$, $a_7 \geq 0$ denklemini çözmek aynı şeydir. Dağılım prensibine göre bu denklemin çözüm sayısı $\binom{67}{6}$ olur. Ancak $a_1 + a_2 + \cdots + a_6 +a_7 = 12$ istenmeyen durumları $\binom{18}{6}$ tanedir. Böylece istenen $\binom{67}{6} - \binom{18}{6}$ bulunur.