Yanıt: $\boxed {E}$
$n$ nin tek sayı değerlerinde $n^4 +81$ çift sayı olduğundan en küçük asal böleni $2$ dir. Bu şekilde $35$ tane tek sayı vardır. Bunların toplamı $2\cdot 35 = 70 \equiv 6 \pmod{8}$ olur.
Şimdi $n$ nin çift sayı değerlerini inceleyeceğiz. Ancak $n=6k$, ($k$ pozitif tamsayı) biçimindeki değerlerde $n^4 + 81 = 3^4(16k^4+1)$ tek tamsayı belirtir ve en küçük asal böleni $3$ tür. Bu şekilde $11$ tane $n$ değeri olduğundan bunların toplamı $3\cdot 11 = 33 \equiv 1 \pmod{8}$ olur.
Geriye kalan $70 - 35 - 11 = 24$ tane $n$ değeri $6k \mp 2$ formundadır. Bu $n$ değerleri için $n^4 + 81$ sayısı ne $2$ ile ne de $3$ ile bölünebilir. $n^4 + 81$ sayısının en küçük asal böleni $p$ olsun. ($p>3$ olduğu açıktır). $n = 6k \mp 2$ şeklindeki bir $n$ için $f(n)=p$ dir. $n^4 + 81\equiv 0 \pmod{p} $ yazabiliriz. Böylece $n^4 \equiv -3^4 \pmod{p} $ olur. $3\cdot m \equiv 1 \pmod{p}$ olacak biçimde bir $m$ tamsayısı vardır. (Bu $m$ tamsayısına $3$'ün $\mod{p}$ deki çarpımsal tersi denir). Buradan $(mn)^4 \equiv -(3m)^4 \equiv -1 \pmod{p}$ ve $(mn)^8\equiv 1\pmod{p}$ olup $mn$ sayısının $\mod{p}$ deki mertebesinin $8$ olduğunu anlarız. Bu denklikten açık olarak $(mn, p)=1$ dir. Fermat Teoremine göre $(mn)^{p-1}\equiv 1\pmod{p} $ olur. $p-1$ sayısının mertebeyi tam bölmesi gerektiğinden $8|p-1$ ya da $p=8t+1 \equiv 1 \pmod{8}$ ($t$ bir pozitif tamsayı) biçimindedir. Bu $p$ asallarından $24$ tane olduğundan toplam $24\cdot 1 \equiv 0 \pmod{8}$ olur.
Sonuç olarak $70$ tane $n$ pozitif tamsayısı için aranan toplamın $8$ ile bölümünden kalan $6 + 1 + 0 \equiv 7 \pmod{8}$ dir.
